Dicas & Curiosidades XXI

Ontem, revendo todos os comentários feitos nas matérias deste blog, encontrei algumas consultas que passarei a responder dentro do possível.

Dentre elas, uma me chamou particular atenção. No rodapé do “Dicas & Curiosidades” VIII, de 01.10.2008 lê-se:

“O meu professor de Cálculo 1 perguntou em sala de aula, por que o raio do círculo trigonométrico era unitário? Qual é a origem da definição? Ninguém soube responder. Se for possível, mandem para o meu email ok? um abraço!”.

Responderei.

Tudo o que medimos necessita de uma unidade padrão que serve como referência. Essas unidades são, em geral, definidas por convenção.

O palmo e a polegada tiveram sua origem na anatomia humana: o primeiro corresponde à distância entre a extremidade do dedo polegar e a extremidade do dedo mínimo da mão aberta de uma pessoa adulta, aproximadamente 22 cm; enquanto a segunda, equivale ao comprimento da falange (que contém a unha) do dedo polegar da mão de uma pessoa adulta, mais ou menos 2,5 cm.

O metro, criado em 1791 na França e adotado no Brasil em 1928, corresponde aproximadamente à circunferência em redor da Terra dividida por 40.000.000 (quarenta milhões). Isto mesmo. A volta em torno do nosso Planeta mede 40.000.000 de metros ou 40.000 km.

De idêntica forma, para a medição das funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante; necessário se faria eleger uma unidade e, para isto, optou-se pelo raio do círculo trigonométrico, por mera e simples convenção, como poderia ser o diâmetro (seu dobro).

O movimento anti-horário utilizado na Ciência do Triângulo também é outra convenção. Poderia ser o sentido horário.

Não haveria nenhum problema para o estudo da Trigonometria, se o primeiro quadrante não fosse o superior direito.

Porém, tudo isto teria que ser definido, com vistas à uniformidade e universalidade didática.

Como foi dito, o raio do círculo trigonométrico é a unidade para a medição das funções acima elencadas.

Quando dizemos que o seno do ângulo de 30º é ½, significa que o segmento de reta representativo do seno de 30º corresponde à metade do raio do círculo.

Se a tangente do ângulo de 45º é igual 1, vale dizer que o segmento de reta que representa a tangente de 45º é igual ao raio do círculo.

Sabemos que a secante de 60º é 2. Em outras palavras, o segmento de reta indicativo da secante de 60º vale o dobro do raio do círculo.

Por fim, se a cotangente de um determinado ângulo é igual a 9, claro está que o segmento de reta determinante dessa cotangente é o nônuplo do raio do círculo trigonométrico.

Já que o assunto é Trigonometria, aproveito para prestar mais algumas informações.

                     Valor numérico das funções

O seno e o cosseno variam de -1 a +1 (incluindo os extremos). Então, seus valores absolutos são iguais ou inferiores ao raio.

-∞ ————– -1 —– 0 —– +1 ————– +∞.

                            _____________

                            seno e cosseno

A tangente e a cotangente variam de  -∞  a  +∞. Logo, a tangente e a cotangente podem ser alguns milhões, bilhões, trilhões de vezes maiores do que o raio que é igual a 1.

-∞ ————– -1 —– 0 —– +1 ————– +∞.

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                      tangente e cotangente

A secante e a cossecante variam de -∞ a  -1 e de +1 a +∞ (incluindo os extremos). Assim, seus valores absolutos são iguais ou superiores ao raio.

-∞ ————– -1 —– 0 —– +1 ————– +∞.

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secante e cossecante                        secante e cossecante

Sinais algébricos das funções

                                         Quadrantes

                            1º         2º        3º        4º                                 

Seno                           +             +            –             –

Cosseno                      +             –            –             +

Tangente                    +             –            +             –

Cotangente                +             –            +             –

Secante                      +             –            –             +

Cossecante                +             +           –              –

                Observem que:

a)      Basta memorizar os sinais do seno e do cosseno.

b)      Como a tangente é igual ao seno dividido pelo cosseno, seus sinais serão obtidos combinando aqueles sinais: quando iguais, positivo para a tangente (1º e 3º quadrantes);  quando diferentes, negativo para a tangente (2º  e  4º quadrantes).

c)       Como a cotangente = 1/tangente, seus sinais são os mesmos.

d)      Como a secante = 1/cosseno, seus sinais são os mesmos.

e)      Como a cossecante = 1/seno, seus sinais são os mesmos.

Aguardo seus gentis comentários e até a próxima quarta-feira.

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